Question

12．等比數(shù)列{a_n}中，已知對(duì)任意正整數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ+m，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　�。�

• A． $\frac{1}{3}（{4^n}+m）$
• B． $\frac{1}{3}（{2^n}-1）$
• C． （4ⁿ-1）
• D． （2ⁿ+m）²

Answer 1

分析 先求出a₁=2+m，a₂=2，a₃=4，∴m=-1，a₁=1，從而{${{a}_{n}}^{2}$}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，由此能求出a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²的值．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中，對(duì)任意正整數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ+m，
∴a₁=2+m，a₁+a₂=4+m，a₁+a₂+a₃=8+m，
∴a₁=2+m，a₂=2，a₃=4，∴m=-1，a₁=1，
∴${{a}_{1}}^{2}$=1，${{a}_{2}}^{2}$=4，${{a}_{3}}^{2}$=16，
∴{${{a}_{n}}^{2}$}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}+m）$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．