Question

13．已知f（x）=x³-6x，過點A（2，m）（m≠-4）可作曲線y=f（x）的三條切線，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用導數的幾何意義以及導數的應用建立條件關系即可，要注意對點是否在曲線上進行討論．

解答 解：過點A（2，m）向曲線y=f（x）作切線，
設切點為（x₀，y₀）
則y₀=x₀³-6x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-6．
則切線方程為y-（x₀³-6x₀）=（3x₀²-6）（x-x₀），
將A（2，m）代入上式，整理得2x₀³-6x₀²+m+12=0．
∵過點A（2，m）（m≠-4）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x₀³-6x₀²+m+12=0（*）有三個不同實數根，
記g（x）=2x³-6x²+m+12=0，g'（x）=6x²-12x=6x（x-2），
令g'（x）=0，x=0或2，
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當x=0，g（x）有極大值m+12；x=2，g（x）有極小值m+4．
由題意有，當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+12＞0}\\{m+4＜0}\end{array}\right.$，
解得-12＜m＜-4時，
函數g（x）有三個不同零點、
此時過點A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．
故m的范圍是（-12，-4）．

點評 本題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．綜合性較強，運算量較大．