Question

【題目】如圖所示多面體，其底面為矩形且，四邊形為平行四邊形，點在底面內的投影恰好是的中點.

（1）已知為線段的中點，證明：平面；

（2）若二面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連結交于，連結由三角形中位線定理可得，可得平面，可證明平面，從而平面平行于平面平面；（2）以的中點為原點，以、的垂直平分線、為坐標軸，建立如空間直角坐標系，設，求出平面的法向量與平面的法向量，由二面角大小為，利用空間向量夾角余弦公式求出，求出的坐標，由夾角公式可得結果.

（1）連結交于，連結為的中位線，

平面，而平面平面.

又知平面平面平面，

相交，由它們確定的平面平行于平面

平面平面.

（2）以的中點為原點，以的垂直平分線、為坐標軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，其余各點分別是：

，所以

又設平面的法向量為.

由

令，得

易得平面的法向量為

因為二面角大小為.所以由，

解得.

且

故直線與平面

所成角的正弦為.