Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，則S₁₀₀=1306．

Answer 1

分析 a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，可得a_2n+a_2n+1=n+1．由a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，可得a₁₀₀+a₅₀=50，a₅₀+a₂₅=25，a₂₅=a₁₂+1，a₁₂+a₆=6，a₆+a₃=3，a₃=a₁+1，a₁=1．可得a₁₀₀．即可得出．

解答 解：∵a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，∴a_2n+a_2n+1=n+1，
由a_2n=n-a_n，a_2n+1=a_n+1，
可得a₁₀₀+a₅₀=50，a₅₀+a₂₅=25，a₂₅=a₁₂+1，a₁₂+a₆=6，a₆+a₃=3，a₃=a₁+1，a₁=1．
可得a₁₀₀=31．
∴S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₉₈+a₉₉）+a₁₀₀
=1+（1+1）+（2+1）+…+（49+1）+31
=$\frac{50×（1+50）}{2}$+31=1306．
故答案為：1306．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、分類討論方法、分組求和、等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．