Question

設函數f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，數列{a_n}滿足a1=1，an=f(

1

an-1

)，n∈N*且n≥2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）對n∈N^*，設Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，求證：Sn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，an=f(

1

an-1

)，n∈N*，n≥2，可得a_n-a_n-1=

2

3

，從而數列{a_n}是等差數列，由此可求數列{a_n}的通項公式；
（2）裂項可得

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，求出S_n，即可證得結論．

解答：（1）解：∵函數f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，an=f(

1

an-1

)，n∈N*，n≥2，
∴a_n-a_n-1=

2

3

∴數列{a_n}是等差數列
∵a₁=1，
∴a_n=

2n+1

3

（2）證明：∵

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

3

2

點評：本題考查數列與函數的結合，考查數列的通項，考查裂項法求和，考查不等式的證明，確定數列的通項是關鍵．