Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E為PB中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PD∥平面ACE；

（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）見解析；（III）

【解析】

（I）連結(jié)交于，連結(jié)，利用中位線可證明，即可說明平面；

（II）由平面平面，底面為矩形可得：，根據(jù)勾股定理可得：，由此證明平面；

（III）取的中點(diǎn)，連結(jié)，可證明平面，由于為 中點(diǎn)，則過點(diǎn)作平面的高等于，所以，即可求出三棱錐 的體積

（I）連結(jié)交于，連結(jié)．因?yàn)榈酌?/span>是矩形，

所以為中點(diǎn)．又因?yàn)?/span>為 中點(diǎn)，所以．因?yàn)?/span>平面，

平面，所以平面．

（II） 因?yàn)榈酌?/span>為矩形，所以．

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面，平面平面，

所以平面．因?yàn)?/span>平面，所以．

因?yàn)?/span>，所以，即．

因?yàn)?/span>，，平面，

所以平面．

（III））取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以，且，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面，平面平面， 所以平面，因?yàn)?/span>為 中點(diǎn)，

所以．

所以三棱錐C的體積為．