Question

在下列命題中
①函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)；
②已知定義在R上周期為4的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），則f（x）一定為偶函數(shù)；
③若f（x）為奇函數(shù)，則

∫

a -a

f（x）dx=2

∫

a 0

f（x）dx（a＞0）；
④已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），則a+b+c=0是f（x）有極值的充分不必要條件；
⑤已知函數(shù)f（x）=x-sinx，若a+b＞0，則f（a）+f（b）＞0．
其中正確命題的序號(hào)為

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題

分析：①中，函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)的區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上有單調(diào)性；
②中，由題意可以推導(dǎo)出f（-x）=f（x），即f（x）是偶函數(shù)；
③中，由定積分的幾何意義與被積函數(shù)是奇函數(shù)，得出

∫

a -a

f（x）dx的值；
④中，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，得出f′（x）有二不等零點(diǎn)，f（x）有極值；當(dāng)f（x）有極值時(shí)，f′（x）有二不等零點(diǎn)，不能得出a+b+c=0；
⑤中，由f′（x）≥0得出a＞-b時(shí)，f（a）＞f（-b）；又f（-x）=-f（x），得出f（-b）=-f（b）；從而得出f（a）+f（b）＞0．

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)的區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴①錯(cuò)誤．
對(duì)于②，由題意得f（2-（x+2））=f（2+（x+2）），即f（-x）=f（4+x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；∴②正確．
對(duì)于③，根據(jù)定積分的幾何意義是函數(shù)圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積的代數(shù)和，且被積函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
得

∫

a -a

f（x）dx=0，∴③錯(cuò)誤．
對(duì)于④，∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c；
當(dāng)a+b+c=0時(shí)，（2b）²-4×3a×（-a-b）=4b²+12a²+12ab=4(b+

3

2

a)2+3a²＞0，∴f′（x）有二不等零點(diǎn)，f（x）有極值；
當(dāng)f（x）有極值時(shí)，f′（x）=3ax²+2bx+c有二不等零點(diǎn)，即4b²-12ac＞0，不能得出a+b+c=0；
∴是充分不必要條件，④正確．
對(duì)于⑤，∵f（x）=x-sinx，∴f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）是增函數(shù)，∴當(dāng)a+b＞0時(shí)，a＞-b，∴f（a）＞f（-b）；
又∵f（-x）=-x-sin（-x）=-（x-sinx）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，∴f（-b）=-f（b）；
∴f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0；∴⑤正確．
綜上，正確的命題是②④⑤；
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)命題真假的判定，考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及求定積分和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)每一個(gè)命題認(rèn)真分析，以便作出正確的選擇，是較難的綜合題．