Question

設(shè)甲、乙兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中成功的概率均為p，且這兩套試驗(yàn)方案中至少有一套試驗(yàn)成功的概率為0.51．假設(shè)這兩套試驗(yàn)方案在試驗(yàn)過(guò)程中，相互之間沒(méi)有影響．
（I）求p的值；
（II）設(shè)試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由題意知記這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗(yàn)成功的事件為

.

A

.這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中不成功的概率均為1-p．列出等式，解出變量P．
（II）由題意知ξ的可取值為0，1，2．當(dāng)ξ=0時(shí)表示試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)ξ=1時(shí)表示試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)ξ=2時(shí)表示試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為2，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到分布列算出期望．

解答：解：（I）記這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中均不成功的事件為A，
則至少有一套試驗(yàn)成功的事件為

.

A

．
由題意，這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中不成功的概率均為1-p．
∴P（A）=（1-p）²，
∴P(

.

A

)=1-(1-p)2．
令1-（1-p）²=0.51，解得p=0.3．

（II）解：ξ的可取值為0，1，2．
∵當(dāng)ξ=0時(shí)表示試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為0，
當(dāng)ξ=1時(shí)表示試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為1，
當(dāng)ξ=2時(shí)表示試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為2，
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到分布列
P（ξ=0）=（1-0.3）²=0.49，
P（ξ=1）=2×0.3×（1-0.3）=0.42，
P（ξ=2）=0.3²=0.09．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）=0.6．

點(diǎn)評(píng)：解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡(jiǎn)單得多．