Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

2x-1

2x+1

（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)定義滿足：

2x-1

2x+1

＞0，即2^x＞1，x＞0，即可得到定義域，
（2）；設(shè)u（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，0＜x₁＜x₂，2 x1＜2 x2，u（x₁）-u（x₂）=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

＜0，u（x₁）＜u（x₂），再分類討論，運用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性定義判斷即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=log_a

2x-1

2x+1

（a＞0且a≠1）
（1）定義域滿足：

2x-1

2x+1

＞0，
即2^x＞1，x＞0，
∴定義域為：（0，+∞）
∵

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

∴0＜1-

2

2x+1

＜1，
當(dāng)a＞1，log_a

2x-1

2x+1

＜log

1 a

=0
當(dāng)0＜a＜1時，log_a

2x-1

2x+1

＞log

1 a

=0
所以：當(dāng)a＞1，時，值域為；（-∞，0）
當(dāng)0＜a＜1時，值域為；（0，+∞）
（2）證明；設(shè)u（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵0＜x₁＜x₂，2 x1＜2 x2，
∴u（x₁）-u（x₂）=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

＜0，
∴u（x₁）＜u（x₂）
當(dāng)a＞1時，log_au（x₁）＜log_au（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂），
所以當(dāng)a＞1時，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜1時，log_au（x₁）＞log_au（x₂），
即f（x₁）＞f（x₂），
所以當(dāng)a＞1時，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷證明，解不等式等問題，屬于中檔題．