Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，-2），點(diǎn)C滿(mǎn)足

OC

=(m

OA

+n

OB

)，其中m，n∈R且m-2n=1．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：

1

a2

-

1

b2

為定值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于

3

，求雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量等式，得點(diǎn)C的坐標(biāo)，消去參數(shù)即得點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）將直線與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結(jié)合向量的垂直關(guān)系得到關(guān)于a，b的關(guān)系，化簡(jiǎn)即得結(jié)論．
（3）由（2）得

1

a2

-

1

b2

=2從而b 2=

a 2

1-2a2

又e≤

3

得出e 2=

a 2+b 2

a 2

≤3．解得雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)2a的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），∵

OC

=(m

OA

+n

OB

)
∴（x，y）=m（1，0）+n（0，-2）．
∴

x=m y=-2n

∵m-2n=1，
∴x+y=1
即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1（15分）
（2）由

x+y=1 x2 a2 - y2 b2 =1

得（b²-a²）x²+2a²x²-a²-a²b²=0
由題意得

b2-a2≠0 (2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2(b4+b2-a2)＞0

（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則 x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴

OM

•

ON

=0．即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0．即b²-a²-2a²b²=0．
∴

1

a2

-

1

b2

=2為定值．（14分）
（3）∵

1

a2

-

1

b2

=2
∴b 2=

a 2

1-2a2

∵e≤

3

∴e 2=

a 2+b 2

a 2

≤3．
∴1+

1

1-2a 2

≤3
解得：0＜a≤

1

2

，0＜2a≤1
∴雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．