Question

【題目】已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)， 的垂直平分線(xiàn)與交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】【試題分析】（1）由于，所以的軌跡為橢圓，利用橢圓的概念可求得橢圓方程.（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，求得直線(xiàn)的方程，求得其縱截距為，即過(guò).驗(yàn)證當(dāng)斜率不存在是也過(guò).求出三角形面積的表達(dá)式并利用基本不等式求得最大值.

【試題解析】

解：（1）由已知得： ，所以

又,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4的橢圓，

所以點(diǎn)軌跡方程是.

（2）當(dāng)存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)， ，則，

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓得，

得，

∴，

∴，所以直線(xiàn)，

所以令，得，

，

所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，（當(dāng)不存在時(shí)仍適合）

所以的面積 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

所以面積的最大值是.