Question

已知：矩形AEFD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M（2，0），AE邊所在直線的方程為：x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（1）求矩形AEFD外接圓P的方程．
（2）△ABC是⊙P的內(nèi)接三角形，其重心G的坐標(biāo)是（1，1），求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質(zhì)得到直線AD與直線AB垂直，因?yàn)閮芍本�垂直時(shí)斜率的乘積為-1，所以由直線AB的斜率得到直線AD的斜率，又直線AD過點(diǎn)N，由N的坐標(biāo)和求出的直線AD的斜率寫出直線AD的方程，與直線AB的方程聯(lián)立即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AM|的長即為矩形外接圓的半徑，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到矩形外接圓的圓心即為點(diǎn)M，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（2）連AG延長交BC于點(diǎn)N（x，y），則N點(diǎn)是BC中點(diǎn)，連MN，由G是△ABC的重心，可知，從而（1，3）=2（x-1，y-1），即，又M是圓心，N是BC中點(diǎn)，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，從而，故可求直線BC的方程．
解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∵且 AE⊥AD，∴K_AD=-3又T（-1，1）在AD上，∴，∴即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）
又∵M(jìn)點(diǎn)是矩形AEFD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，∴M點(diǎn)（2，0）即為矩形AEFD外接圓的圓心，其半徑
∴⊙P的方程為（x-2）²+y²=8
（2）連AG延長交BC于點(diǎn)N（x，y），則N點(diǎn)是BC中點(diǎn)，連MN
∵G是△ABC的重心，∴，∴（1，3）=2（x-1，y-1），∴
∵M(jìn)是圓心，N是BC中點(diǎn)，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，∴，∴即直線BC的方程為x-5y+11=0
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握矩形的性質(zhì)及兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．