Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定義域?yàn)镽．
（1）當(dāng)θ=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若θ∈（0，π），且sinx≠0，當(dāng)θ為何值時(shí)，f（x）為偶函數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當(dāng)θ=0時(shí)，利用輔助角公式求出f（x）的表達(dá)式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用輔助角公式，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)θ=0時(shí)，f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，
解得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，
即求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z；
（2）f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=

2

sin(x+θ+

π

4

)，
若f（x）為偶函數(shù)，則θ+

π

4

=

π

2

+kπ，
即θ=

π

4

+kπ，k∈Z，
若θ∈（0，π），且sinx≠0，
∴當(dāng)k=0時(shí)，θ=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．