Question

正四棱錐V-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若其底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2

6

，則AB兩點(diǎn)的球面距為（　�。�

• A．

  1

  9

• B．3arccos

  1

  9

• C．arccos

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：設(shè)球的半徑為R，利用正四棱錐的性質(zhì)和球的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程，求得球半徑，根據(jù)余弦定理和球面距離的公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)外接球球心為O，正方形ABCD中心為O₁，連接VO₁，則球心O在VO₁上，連接AC、OA、OB
∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，∴對(duì)角線AC=4

2

，O₁A=

1

2

AC=2

2

∵VO₁⊥平面ABCD，
∴Rt△VO₁A中，VO₁=4
設(shè)外接球半徑為R，則Rt△OO₁A中，OA=R，O₁O=4-R
∴R²=（4-R）²+（2

2

）²，解之得：R=3
∴△AOB中，cos∠AOB=

1

9

∴∠AOB=arccos

1

9

所以AB兩點(diǎn)的球面距為R×∠AOB=3arccos

1

9

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球內(nèi)接正四棱錐，考查球面距離，確定球的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．