Question

某個公園有個池塘，其形狀為直角三角形ABC，∠C=90°，AB=100米，BC=50米．
（1）現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，并且，EF∥AB，EF⊥ED（如圖1），游客要在△DEF內(nèi)喂魚，希望△DEF面積越大越好．設(shè)EF=x（米），用x表示△DEF面積S，并求出S的最大值；
（2）現(xiàn)在準備新建造一個走廊，方便游客通行，分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，建造正△DEF走廊（不考慮寬度）（如圖2），游客希望△DEF周長越小越好．設(shè)∠FEC=α，用α表示△DEF的周長L，并求出L的最小值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）通過三角形ABC，求出A，設(shè)EF=x，0＜x＜100，求出CE，BE，表示出三角形的面積，利用二次函數(shù)求出最值．
（2）設(shè)邊長為a，∠FEC=α，α∈(0，

π

2

)，利用正弦定理求出a的表達式，求出a的最小值，L的最小值．

解答： 解：（1）直角三角形ABC，∠C=90°，AB=100米，BC=50米
∴sinA=

BC

AB

=

1

2

．
A=30°，
∵EF∥AB，EF⊥ED∴∠CFE=30°，
設(shè)EF=x，0＜x＜100，∴CE=

x

2

，∴BE=50-

x

2

，
∵EF⊥ED，∴EF⊥AB，∴DE=

3

2

(50-

x

2

)，
∴S△ABC=

1

2

EF•ED=

3

8

x(100-x)，
當x=50時，SMAX=

625

2

3

；
（2）設(shè)邊長為a，∠FEC=α，α∈(0，

π

2

)，
∴CE=acosα，EB=50-acosα，∠EDB=α，
在三角形DEB中，

a

sin π 3

=

50-acosα

sinα

，
∴a=

25 3

sinα+ 3 2 cosα

=

25 3

7 2 sin(α+θ)

=

50 21

7sin(α+θ)

≥

50 21

7

．
∴a的最小值為

50 21

7

，
L的最小值是

150 21

7

．

點評：本題考查三角形的面積的求法，三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．