Question

【題目】設橢圓，定義橢圓的“相關圓”的方程為，若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形.

（1）求橢圓的方程和“相關圓”的方程；

（2）若直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，為坐標原點.

①求證：；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）①證明見解析； ②

【解析】

（1）由拋物線焦點為及橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形，即可求得，從而可得到本題答案；

（2）①分直線l的斜率存在和不存在兩種情況考慮，求出的值，即可得到本題結論；②算出直線斜率不存在時的值，以及斜率存在時的最大值，通過比較大小，即可得到本題答案.

（1）易知拋物線焦點為，

又由的一個短軸端點與兩焦點構成直角三角形，

可得，

橢圓的方程為，

相關圓的方程為.

（2）①（i）斜率不存在時，可得的方程為，

聯(lián)立，

即或

，

；

（ii）斜率存在時，可設的方程為，，聯(lián)立，

，

由圓與相切可得，

，

由（i）（ii）知，恒成立.

②斜率不存在時，由①可得，

斜率存在時，由①可得

，

令，則，

，

（當且僅當時取“”）

.