Question

已知切線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線L的參數(shù)方程為

x=1- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）．
（1）寫出直線L與曲線C的直角坐標(biāo)系下的方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=x y′=2y

，得到曲線C′，判斷L與切線C′交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,伸縮變換

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由直線L的參數(shù)方程

x=1- 1 2 t y=2+ 3 2 t

消去參數(shù)t得直線L的直角坐標(biāo)方程．由公式ρ²=x²+y²得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=x y′=2y

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x=x′ y= y′ 2

代入直角坐標(biāo)方程即可得到曲線C′的方程，由于直線L恒過點(diǎn)（1，2），點(diǎn)（1，2）在橢圓內(nèi)部，可得直線L與橢圓相交．

解答： 解：（1）由直線L的參數(shù)方程

x=1- 1 2 t y=2+ 3 2 t

消去參數(shù)t得直線L的直角坐標(biāo)方程為：

3

x+y-

3

-2=0，
由公式ρ²=x²+y²得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4；
（2）曲線C經(jīng)過伸縮變換

x′=x y′=2y

得到曲線C′的方程為x2+

y2

4

=4，
由于直線L恒過點(diǎn)（1，2），點(diǎn)（1，2）在橢圓內(nèi)部，∴直線L與橢圓相交，
故直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程極坐標(biāo)化為普通方程、伸縮變換、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．