Question

（理）函數(shù)y=f（x）圖象與h（x）=-x²+6x-8圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．
①求f（x）的表達(dá)式；
②設(shè)g（x）=f（x）-2x+|x+1-a|（a∈R），求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：①設(shè)（x，y）是y=f（x）上任意一點(diǎn)，q求出其關(guān)于（1，0）的對(duì)稱點(diǎn)，將對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入h（x）=-x²+6x-8的解析式即得到f（x）的解析式．
②通過對(duì)x的討論將g（x）的解析式中的絕對(duì)值去掉，畫出相應(yīng)的圖象，通過對(duì)a的分類討論求出g（x）的最小值．

解答：解：①設(shè)（x，y）是y=f（x）上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于（1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（2-x，-y），
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）圖象與h（x）=-x²+6x-8圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
所以點(diǎn)（2-x，-y）應(yīng)該在h（x）=-x²+6x-8的圖象上，
所以-y=-（2-x）²+6（2-x）-8，
整理得y=x ²+2x，
所以f（x）=x²+2x，
②g（x）=f（x）-2x+|x+1-a|
=x²+|x+1-a|
=

x2+x+1-a，(x≥a-1) x2-x+a-1，(x＜a-1)

結(jié)合圖象，
當(dāng)a-1≤-

1

2

時(shí)即a≤

1

2

時(shí)，
當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值

3

4

-a
當(dāng)a-1≥

1

2

時(shí)即a≥

3

2

時(shí)，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值為a-

5

4

；
當(dāng)

1

2

＜a＜

3

2

時(shí)，當(dāng)x=a-1時(shí)函數(shù)g（x）有最小值（a-1）²
總之，g（x）的最小值為

3 4 -a(a≤ 1 2 ) (a-1)2( 1 2 ＜a＜ 3 2 ) a- 5 4 (a≥ 3 2 )

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)的最值應(yīng)該先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸、考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是一道較難的題目．