Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過點F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F₁F₂為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（

  3

  ，2）
• C、（

  2

  ，

  3

  ）
• D、（1，

  2

  ）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)斜率與平行的關系即可得出過焦點F₂的直線，與另一條漸近線聯(lián)立即可得到交點M的坐標，再利用點M在以線段F₁F₂為直徑的圓外和離心率的計算公式即可得出．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
不妨設過點F₂與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=

b

a

（x-c），
與y=-

b

a

x聯(lián)立，可得交點M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵點M在以線段F₁F₂為直徑的圓外，
∴|OM|＞|OF₂|，即有

c2

4

+

b2c2

4a2

＞c²，
∴

b2

a2

＞3，即b²＞3a²，
∴c²-a²＞3a²，即c＞2a．
則e=

c

a

＞2．
∴雙曲線離心率的取值范圍是（2，+∞）．
故選A．

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的漸近線、離心率的計算公式、點與圓的位置關系是解題的關鍵．