Question

已知函數(shù)y=-x³+3x-a在[0，2]上有兩個零點，則常數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、0≤a＜2
• B、-2≤a≤2
• C、-2＜a＜2
• D、0≤a≤2

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：通過對a分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：令f（x）=-x³+3x-a，x∈[0，2]．
則f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=1．
列表如下：

x	[0，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減

由表格可知：當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值，f（1）=2-a；又f（0）=-a，f（2）=-2-a．∴最小值為-2-a．
①當a＜0時，f（1）＞0，f（0）＞0，f（2）≥-2，因此函數(shù)f（x）最多有一個零點；
②當a≥2時，f（1）＜0，因此函數(shù)f（x）無零點；
③當0≤a＜2時，f（1）＞0，f（0）≤0，f（2）＜0，因此函數(shù)f（x）有兩個零點，滿足條件．
綜上可得：只有當0≤a＜2時，函數(shù)f（x）有兩個零點．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．