Question

已知實數(shù)x，y滿足等式1+cos²πx=y+

1

y

，則x²+y²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：計算題

分析：先判定出y為正，再利用基本不等式得出1+cos²πx=y+

1

y

≥2，由余弦的有界限得πx=kπ，k∈Z．即x=k，k∈Z．

解答： 解：∵1+cos²πx=y+

1

y

，
∴y＞0，
∴1+cos²πx=y+

1

y

≥2，
∵cos²πx≤1，1+cos²πx≤2，
∴1+cos²πx=2，即cos²πx=1，
∴πx=kπ，k∈Z．
∴x=k，k∈Z．當且僅當y=1時成立．
∴x²+y²≥1，
∴x²+y²的最小值為1，
故答案為：1

點評：本題考查是基本不等式，使用基本不等式要注意其使用的條件：一正、二定、三相等；考查了三角函數(shù)的有界限．