Question

8．已知y=$\frac{1}{3}{x^3}+b{x^2}$+（b+2）x+3是R上的單調(diào)函數(shù)，則b的取值范圍是（　　）

• A． -1≤b≤2
• B． b≤-1或b≥2
• C． -1＜b＜2
• D． b＜-1或b＞2

Answer 1

分析 三次函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（b+2）x+3的單調(diào)性，通過(guò)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，故先求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問(wèn)題．

解答 解：若函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（b+2）x+3是R上的單調(diào)函數(shù)，
則只需y′=x²+2bx+b+2≥0在R上恒成立
或y′=x²+2bx+b+2≤0在R恒成立即可；
而導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，
故y′=x²+2bx+b+2≤0在R不恒成立，
∴x²+2bx+b+2≥0恒成立，
∴△≤0，即b²-b-2≤0，
則b的取值是-1≤b≤2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．