Question

19．已知函數f（x）=|2x+3|+|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解關于m的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x-1|＜8，
可化為①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{-2x-3-2x+1＜8}\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{2x+3-2x+1＜8}\end{array}\right.$或③$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x+3+2x-1＜8}\end{array}\right.$，…（3分）
解①得-$\frac{5}{2}$＜x＜-$\frac{3}{2}$，解②得-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，解③得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
綜合得：-$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，即原不等式的解集為{x|-$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$}．…（5分）
（Ⅱ）因為∵f（x）=|2x+3|+|2x-1|≥|（2x+3）-（2x-1）|=4，
當且僅當-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，等號成立，即f（x）_min=4，…（8分）
又不等式f（x）≤|3m+1|有解，則|3m+1|≥4，解得：m≤-$\frac{5}{3}$或m≥1．…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．