Question

設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標(biāo)原點．
（1）證明：a2＞

3k2

3+k2

；
（2）若

.

AC

=2

.

CB

，求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程代人橢圓方程，由直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點可得△＞0，解出即可證明；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等得到y(tǒng)₁，y₂的關(guān)系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式∴△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|及基本不等式的性質(zhì)即可得出取得面積最大值時的k的值，進(jìn)而得到a的值．

解答：（1）證明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=

1

k

y-1．
并代入橢圓方程3x²+y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①
∵直線l與橢圓相交于兩個不同的點得△=36k²-4（3+k²）（3k²-k²a²）＞0，
∴a2＞

3k2

3+k2

．
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y1+y2=

6k

3+k2

，②
∵

AC

=2

CB

，而點C（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y2=

-6k

3+k2

，③
∴△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|=

3

2

|y2|=

9|k|

3+k2

≤

9|k|

2 3 |k|

=

3 3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)k²=3，即k=±

3

時取等號．
把k的值代人③可得y2=±

3

，
將

k= 3 y2=- 3

及

k=- 3 y2= 3

這兩組值分別代入①，均可解出a²=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x²+y²=15．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、△＞0、向量相等、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．