Question

函數f（x）=

3

2

sin（π-x）+

3

2

cos（π+x），方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有兩個不等的實根，則實數k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的求值

分析：運用誘導公式和兩角差的正弦公式化簡三角函數式，方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有兩個不等的實根，則sin（x-

π

6

）=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個不等的實根．即為y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個交點．畫出它們的圖象，觀察計算即可得到．

解答： 解：函數f（x）=

3

2

sin（π-x）+

3

2

cos（π+x）
=

3

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=

3

sin（x-

π

6

），
方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有兩個不等的實根，
則sin（x-

π

6

）=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個不等的實根．
即為y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個交點．
作出函數y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k．
則由圖象y=sin（x-

π

6

）的最大值為1，當x=π時，y=sin（x-

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

，
則當

1

2

≤

3

3

k＜1，即有

3

2

≤k＜

3

時，圖象有兩個交點，
則方程f（x）-k=0在，x∈[0，π]上有兩個不等的實根．
故答案為：[

3

2

，

3

）．

點評：本題考查三角函數的化簡和求值，考查函數方程的轉化思想，考查數形結合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．