Question

20．設(shè)實(shí)數(shù)m、n、x、y滿足m²+n²=a，x²+y²=b，其中a、b為正的常數(shù)，則mx+ny的最大值是（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． $\sqrt{a•b}$
• C． $\frac{2ab}{a+b}$
• D． $\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{2}$

Answer 1

分析 可利用三角換元求解．令m=$\sqrt{a}$cosα，n=$\sqrt{a}$sinα，x=$\sqrt$cosβ，y=$\sqrt$sinβ，將其代入mx+ny中，由三角函數(shù)公式和最值分析可得答案．

解答 解：令m=$\sqrt{a}$cosα，n=$\sqrt{a}$sinα，x=$\sqrt$cosβ，y=$\sqrt$sinβ，
則mx+ny=$\sqrt{ab}$cosαcosβ+$\sqrt{ab}$sinαsinβ=$\sqrt{ab}$cos（α-β）≤$\sqrt{ab}$，
當(dāng)cos（α-β）=1時(shí)，取得最大值$\sqrt{ab}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求最值問題的解法，注意運(yùn)用三角換元，注意利用基本不等式求最值的條件易忽略，屬于中檔題和易錯(cuò)題．