Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=。

（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求E到平面ACD的距離；
（3）求異面直線AB與CD所成角的余弦值。

Answer 1

（1）見解析（2）略（3）

本題考查點(diǎn)、線、面間的距離的計(jì)算，考查空間想象力和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意化立體幾何問題為平面幾何問題．
（1）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設(shè)知AO=1，CO= 3，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能夠證明AO⊥平面BCD．
（2）利用等體積法得到點(diǎn)到面的距離的求解。
（3）取AC的中點(diǎn)M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，EM=1能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦．
解：（1）證明：在三角形ABC中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225535930647.png" style="vertical-align:middle;" />，O是BD中點(diǎn)，
所以AO⊥BD，且   ------------------2分

連結(jié)CO，在等邊三角形BCD中易得，
所以
所以AO⊥CO   -----------------4分
因?yàn)镃O∩BD=O，CO、BD平面BCD
所以AO⊥平面BCD    ---------------------6分
（3）分別取BC、AC的中點(diǎn)E、F，連結(jié)EF、EG
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232255362891081.png" style="vertical-align:middle;" />
所以∠FEO或其補(bǔ)角就是異面直線AB、CD所成的角---------8分
連結(jié)FO，因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以AO⊥CO，
所以在Rt△ACO中，斜邊AC上的中線，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232255363201253.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以在△EFO中，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225536398620.png" style="vertical-align:middle;" />>0,所以異面直線AB、CD所成的角的余弦值是---------14分