【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,若對(duì)任意的n∈N*,數(shù)列{an}滿足an+1﹣3an<2,則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)L.
(Ⅰ)判斷下面兩個(gè)數(shù)列是否具有性質(zhì)L:
①1,3,5,7,9,…;
②1,4,16,64,256,…;
(Ⅱ)若{an}是等差數(shù)列且具有性質(zhì)L,其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn<2n2+2n(n∈N*),求數(shù)列{an}的公差d的取值范圍;
(Ⅲ)若{an}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列且具有性質(zhì)L,設(shè)bn=an(n∈N*),且數(shù)列{bn}不具有性質(zhì)L,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【答案】(Ⅰ)1,3,5,7,9,…具有性質(zhì)L,理由見(jiàn)解析;(Ⅱ)[0,4);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意利用an+1﹣3an<2,驗(yàn)證即可
(Ⅱ)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式,代入不等式即可求解.
(Ⅲ)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{an}的公比,{bn}不具有性質(zhì)L,只需存在正整數(shù)m,使得bm+1﹣3bm≥2,,,進(jìn)而可確定,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
(Ⅰ)①1,3,5,7,9,…具有性質(zhì)L.
理由如下:
對(duì)于數(shù)列1,3,5,7,9,…,其通項(xiàng)公式為an=2n﹣1,n∈N*,
an+1﹣3an=2n+1﹣3(2n﹣1)=4﹣4n<2,
∴1,3,5,7,9,…具有性質(zhì)L.
②1,4,16,64,256,…不具有性質(zhì)L.
理由如下:
對(duì)于數(shù)列1,4,16,64,256,…,
∵a3﹣3a2=16﹣3×4=4>2,
∴1,4,16,64,256,…不具有性質(zhì)L.
(Ⅱ)∵等差數(shù)列{an}具有性質(zhì)L,∴an+1﹣3an<2,
即1+nd﹣3[1+(n﹣1)d]<2對(duì)n∈N*均成立,
∴(3﹣2n)d<4對(duì)n∈N*均成立,當(dāng)n=1時(shí),d<4,
當(dāng)n≥2時(shí),d恒成立,
而0,(n≥2,n∈N*),∴d≥0,∴0≤d<4,
∵a1=1,得,
∴由題意n2n2+2n對(duì)n∈N*均成立,
∴當(dāng)n=1時(shí),d∈R,當(dāng)n≥2時(shí),d恒成立,
∵4,∴d≤4.
∵,(n≥2,n∈N*),∴d≥0.∴0≤d<4,
綜上,0≤d<4.
∴數(shù)列{an}的公差d的取值范圍是[0,4).
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則qn﹣1,
∵公比為正整數(shù)的等比數(shù)列{an}具有性質(zhì)L,
∴qn﹣3qn﹣1<2,∴(q﹣3)qn﹣1<2,∴q﹣3≤0,
若不然,q≥4,此時(shí),(q﹣3)qn﹣1≥4n﹣1,不滿足條件,
∵q是正整數(shù),∴q=1,2,3,
∵{bn}不具有性質(zhì)L,∴存在正整數(shù)m,使得bm+1﹣3bm≥2,
∴2,()2,
∴,∴,
∵q∈{1,2,3}.∴q=3,
當(dāng)q=3時(shí),,滿足an+1﹣3an<2.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在等腰梯形中,分別為的中點(diǎn) 為中點(diǎn),現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體,在圖②中.
(1)證明:;
(2)求三棱錐的體積.
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【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,離心率,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn),且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn),若.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于,兩點(diǎn),以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn),如過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,AA1=3,點(diǎn)D,E,F,G分別是所在棱的中點(diǎn).
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(Ⅱ)求三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積.
附:臺(tái)體的體積,其中S和S′分別是上、下底面面積,h是臺(tái)體的高.
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【題目】已知橢圓C:1(a>b>0),其右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為α的直線l,與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn).
(ⅰ)當(dāng)時(shí),求△OPQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積;
(ⅱ)隨著α的變化,試猜想|PQ|的取值范圍,并證明你的猜想.
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【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí),0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;大于300為嚴(yán)重污染.某環(huán)保人士從當(dāng)?shù)啬衬甑腁QI記錄數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取了15天的AQI數(shù)據(jù),用如圖所示的莖葉圖記錄.根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估計(jì)此地該年空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)約為__________.(該年為366天)
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【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)橢圓的焦點(diǎn)在軸上,焦距為4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn);
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【題目】某校學(xué)生會(huì)開(kāi)展了一次關(guān)于“垃圾分類”問(wèn)卷調(diào)查的實(shí)踐活動(dòng),組織部分學(xué)生干部在幾個(gè)大型小區(qū)隨機(jī)抽取了共50名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)束后,學(xué)生會(huì)對(duì)問(wèn)卷結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并將其中一個(gè)問(wèn)題“是否知道垃圾分類方法(知道或不知道)”的調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人數(shù) | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并補(bǔ)全右圖所示的的頻率直方圖;
(2)在被調(diào)查的居民中,若從年齡在的居民中各隨機(jī)選取1人參加垃圾分類知識(shí)講座,求選中的兩人中僅有一人不知道垃圾分類方法的概率.
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(2)時(shí),求證:.
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