Question

（2012•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐E-ABCD中，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD．
（Ⅰ）求證：AB⊥ED；
（Ⅱ）線段EA上是否存在點(diǎn)F，使DF∥平面BCE？若存在，求出

EF

EA

；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連接EO，DO，則EO⊥AB，證明四邊形OBCD為矩形，可得AB⊥DO，從而可得AB⊥平面EOD，由此即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）F為EA中點(diǎn)時，有DF∥平面BCE，取EB中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，證明DF∥CG，利用線面平行的判定可得DF∥平面BCE．

解答：（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)O，連接EO，DO．
因為EA=EB，所以EO⊥AB． …（2分）
因為AB∥CD，AB=2CD，
所以BO∥CD，BO=CD．
又因為AB⊥BC，所以四邊形OBCD為矩形，
所以AB⊥DO．                                         …（4分）
因為EO∩DO=O，所以AB⊥平面EOD．               …（5分）
所以AB⊥ED．                                        …（6分）
（Ⅱ）解：點(diǎn)F滿足

EF

EA

=

1

2

，即F為EA中點(diǎn)時，有DF∥平面BCE．…（7分）
證明如下：取EB中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G．                  …（8分）
因為F為EA中點(diǎn)，所以FG∥AB，FG=

1

2

AB．
因為AB∥CD，CD=

1

2

AB，所以FG∥CD，F(xiàn)G=CD．
所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG．         …（11分）
因為DF?平面BCE，CG?平面BCE，…（12分）
所以DF∥平面BCE．                                   …（13分）

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查線面平行，掌握線面垂直、線面平行的判定方法是關(guān)鍵．