已知函數(shù)f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a為正實數(shù)),且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在y軸上的截距相等.
(1)求a的值;
(2)對于函數(shù)F(x)及其定義域D,若存在x0∈D,使F(x0)=x0成立,則稱x0為F(x)的不動點.若f(x)+g(x)+b在其定義域內存在不動點,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)若n為正整數(shù),證明:10f(n)•(
4
5
)g(n)<4

(參考數(shù)據:lg3=0.3010,(
4
5
)9=0.1342
,(
4
5
)16=0.0281
,(
4
5
)25=0.0038
分析:(1)由已知中函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在y軸上的截距相等,結合函數(shù)f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a為正常數(shù)),我們可以構造關于a的方程,解方程可以求出a的值;
(2)確定函數(shù)解析式,利用不動點的定義,可得實數(shù)b的取值范圍;
(3)由于n為正整數(shù),因此當1≤n≤3時,G(n)單調遞增;當n≥4時,G(n)單調遞減,可得G(n)的最大值是max{G(3),G(4)},從而不等式得到證明.
解答:(1)解:∵函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在y軸上的截距相等,∴f(0)=g(0),即|a|=1.
又a>0,∴a=1.                      …(2分)
(2)解:由(1)知,f(x)+g(x)+b=
x2+3x+bx≥1
x2+x+2+bx<1

當x≥1時,若f(x)+g(x)+b存在不動點,則有x2+3x+b=x,即b=-x2-2x=-(x+1)2+1.                   …(3分)
∵x≥1,∴-(x+1)2+1≤-3,此時b≤-3.       …(4分)
當x<1時,若f(x)+g(x)+b存在不動點,則有x2+x+2+b=x,即b=-x2-2…(5分)
∵x<1,∴-x2-2≤-2,此時b≤-2.            …(6分)
故要使得f(x)+g(x)+b在其定義域內存在不動點,則實數(shù)b的取值范圍應為(-∞,-2].  …(7分)
(3)證明:設G(n)=10f(n )•(
4
5
)g( n )

因為n為正整數(shù),
G(n)=10n-1•(
4
5
) n2+2n+1>0
.                    …(8分)
G(n+1)
G(n)
=
10n•(
4
5
) (n+1)2+2(n+1)+1
10n-1•(
4
5
) n2+2n+1
=10×(
4
5
) 2n+3
.     …(9分)
G(n+1)
G(n)
<1
時,10×(
4
5
) 2n+3<1
,即(2n+3)lg(
4
5
)<-1
,亦即2n+3>
-1
3lg2-1
,∴n>
1
2-6lg2
-
3
2
≈3.7
.                        …(11分)
由于n為正整數(shù),因此當1≤n≤3時,G(n)單調遞增;當n≥4時,G(n)單調遞減.
∴G(n)的最大值是max{G(3),G(4)}.                      …(12分)
G(3)=102×(
4
5
)16=100×0.0281=2.81
,G(4)=103×(
4
5
)25=1000×0.0038=3.8
,
…(13分)
∴G(n)≤G(4)<4.                            …(14分)
點評:本題考查新定義,考查不等式的證明,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案