Question

下列說法中：
①若α∈(0，

π

2

)，則sinα+cosα的值不可能是

2π

7

②若-

π

2

＜θ＜

π

2

，sinθ+cosθ=a，a∈（0，1），則tanθ的值不可能是-

π

3

；
③函數(shù)f（x）sinx（x∈R與函數(shù)f（x）=x（x∈R）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；
④函數(shù)f（x）=

2tan x 2

1-tan2 x 2

的最小正周期是2π；
⑤不存在x∈(0，

π

2

)使得2x＞3sinx成立．
其中正確說法的序號(hào)是

①②③

（注：把你認(rèn)為是正確的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①利用三角函數(shù)的輔助角公式求出函數(shù)的值域．②利用三角函數(shù)的單調(diào)性判斷，然后利用同角三角形的關(guān)系確定．
③利用三角函數(shù)的圖象進(jìn)行推導(dǎo)．④利用三角函數(shù)的倍角公式和的周期關(guān)系判斷．⑤利用賦值法判斷．

解答：解：①若α∈(0，

π

2

)，則sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)∈(1，

2

)，由于

2π

7

∉(1，

2

)，故①正確；
②若-

π

2

＜θ＜

π

2

，sinθ+cosθ=a=

2

sin(θ+

π

4

)∈（0，1），故θ∈(-

π

4

，0)，則tanθ∈（-∞，-1），故②正確；
③由于函數(shù)f（x）=sinx（x∈R與函數(shù)f（x）=x（x∈R）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0），故③正確；
④由于函數(shù)f（x）=

2tan x 2

1-tan2 x 2

=tanx，故④錯(cuò)誤；
⑤當(dāng)x→

π

2

時(shí)，得到2x→π，3sinx→3，故⑤不成立．
故答案為①②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角基本運(yùn)算，要求熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算公式．