分析 (1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù).求出切線的斜率,切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解切線方程.
(2)設(shè)$g(x)=lnx-m({x-\frac{1}{x}})$,求出導(dǎo)函數(shù),通過①若m≤0,②$m≥\frac{1}{2}$時(shí),當(dāng)$0<m<\frac{1}{2}$時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值,推出結(jié)果即可.
(3)由(2)知,當(dāng)x>1時(shí),$m=\frac{1}{2}$時(shí),$lnx<\frac{1}{2}({x-\frac{1}{x}})$成立,不妨令$x=\frac{2k+1}{2k-1},k∈{N^*}$,通過證明$ln\frac{2k+1}{2k-1}<\frac{1}{2}({\frac{2k+1}{2k-1}-\frac{2k-1}{2k+1}})=\frac{4k}{{4{k^2}-1}}$,然后證明結(jié)果.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=lnx.可得f′(x)=$\frac{1}{x}$,f′(1)=1,又f(1)=0.
f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線:y=1(x-1).
即:y=x-1.
(2)$?x∈({1,+∞}),lnx≤m({x-\frac{1}{x}})$恒成立,設(shè)$g(x)=lnx-m({x-\frac{1}{x}})$,即$?x∈({1,+∞}),g(x)≤0,g'(x)=\frac{1}{x}-m({1+\frac{1}{x^2}})=\frac{{-m{x^2}+x-m}}{x^2}$.
①若m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,這與題設(shè)g(x)≤0矛盾.
②若m>0方程-mx2+x-m=0的判別式△=1-4m2,
當(dāng)△≤0,即$m≥\frac{1}{2}$時(shí),g'(x)≤0,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴g(x)≤g(1)=0,即不等式成立.
當(dāng)$0<m<\frac{1}{2}$時(shí),方程-mx2+x-m=0,其根${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-4{m^2}}}}{2m}>0,{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-4{m^2}}}}{2m}>1$,
當(dāng)x∈(1,x2)g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)>g(1)=0,與題設(shè)矛盾.綜上所述,$m≥\frac{1}{2}$.
(3)由(2)知,當(dāng)x>1時(shí),$m=\frac{1}{2}$時(shí),$lnx<\frac{1}{2}({x-\frac{1}{x}})$成立,不妨令$x=\frac{2k+1}{2k-1},k∈{N^*}$∴$ln\frac{2k+1}{2k-1}<\frac{1}{2}({\frac{2k+1}{2k-1}-\frac{2k-1}{2k+1}})=\frac{4k}{{4{k^2}-1}}$,$\sum_{k=1}^n{ln\frac{2k+1}{2k-1}}<\sum_{k=1}^n{\frac{4k}{{4{k^2}-1}}},({n∈{N_+}})$,
即$ln({2n+1})<\sum_{k=1}^n{\frac{4k}{{4{k^2}-1}}},({n∈{N_+}})$.
點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值,構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $-\sqrt{a}$ | B. | $-\sqrt{-a}$ | C. | $\sqrt{-a}$ | D. | $\sqrt{a}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分非必要條件 | B. | 必要非充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既非充分又非必要條件 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a<1或a>3 | B. | a>3 | C. | a<1 | D. | 1<a<3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com