Question

【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).

（1）若，求三棱柱的體積；

（2）證明：平面；

（3）請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，平面，試證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見(jiàn)解析；（3）時(shí)，平面，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）直接根據(jù)三棱柱體積計(jì)算公式求解即可；

（2）利用中位線證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面；

（3）首先設(shè)為，利用平面列出關(guān)于參數(shù)的方程求解即可.

（1）∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，

且，，，

∴由三棱柱體積公式得：；

（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，，

∵，分別為和的中點(diǎn)，

∴，，

∵平面，平面，

∴平面，平面，

又，

∴平面平面，

∵平面，∴平面；

（3）連接，設(shè)，

則由題意知，，

∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，

∴平面平面，

∵，∴，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴平面，∴，

要使平面，只需即可，

又∵，∴，

∴，即，

∴，則時(shí)，平面.