已知數(shù)列an,a1、a2、…、a10是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列,a10、a11、…、a20是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,a20、a21、…、a30是公差為d2的等差數(shù)列,….
(1)若a20=40,求d;
(2)求a30的取值范圍;
(3)設(shè)k∈N*,求數(shù)列an前10k項(xiàng)的和S.
分析:(1)利用a20=a10+10d和a10的值求得數(shù)列的公差d.
(2)利用a30=a20+10d2=10(1+d+d2)整理才關(guān)于d的一元二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a30的取值范圍;
(3)依題意可分別取得前10項(xiàng)的和,第2個10項(xiàng)的表達(dá)式,和第3個10項(xiàng)的表達(dá)式,進(jìn)而可知每10項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的和為等比數(shù)列和等差數(shù)列的復(fù)合數(shù)列,進(jìn)而分別看d=1和d≠1利用等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的求和公式求得答案.
解答:解:(1)依題意,a10=10,a20=a10+10d=40,解得d=3.
(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)=10[(d+
1
2
)2+
3
4
]≥
15
2

(3)前10項(xiàng)的和
1
=1+2++10=55
,
第2個10項(xiàng)的和
2
=(10+d)+(10+2d)++(10+10d)=100+55d
,
第3個10項(xiàng)的和
3
=(10+10d+d2)+(10+10d+2d2)++(10+10d+10d2)=100(1+d)+55d2
,
d≠1時(shí)S=55(1+d+d2++dk-1)+
100
1-d
[(1-d)+(1-d2)++(1-dk-1)]
=
55(1-dk)
1-d
+
100
1-d
(k-
1-dk
1-d
)
;
d=1時(shí)S=55+155+255++[(k-1)×100+55]=5k(10k+1).
S=
55(1-dk)
1-d
+
100
1-d
(k-
1-dk
1-d
),d≠1
5k(10k+1),d=1
點(diǎn)評:本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì).這是一個分段等差的數(shù)列,解題關(guān)鍵是“分”與“合”的轉(zhuǎn)換、代數(shù)運(yùn)算.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)由(1)猜想an的通項(xiàng)公式,并給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=2,
an+1
2an
=1+
1
n
;
(Ⅰ)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{
an
n
}
的前n項(xiàng)和為Sn,試比較an-Sn與2的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=(1+cos2
2
)an+sin2
2
,n∈N*

(1)求a2,a3,a4;并求證:a2m+1+2=2(a2m-1+2),(m∈N*);
(2)設(shè)bn=
a2n
a2n-1
,Sn=b1+b2+…+bn
,求證:Sn<n+
5
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•楊浦區(qū)二模)已知數(shù)列An:a1,a2,…,an.如果數(shù)列Bn:b1,b2,…,bn滿足b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,其中k=2,3,…,n,則稱Bn為An的“生成數(shù)列”.
(1)若數(shù)列A4:a1,a2,a3,a4的“生成數(shù)列”是B4:5,-2,7,2,求A4
(2)若n為偶數(shù),且An的“生成數(shù)列”是Bn,證明:Bn的“生成數(shù)列”是An;
(3)若n為奇數(shù),且An的“生成數(shù)列”是Bn,Bn的“生成數(shù)列”是Cn,….依次將數(shù)列An,Bn,Cn,…的第i(i=1,2,…,n)項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列Ωi:ai,bi,ci,…證明:數(shù)列Ωi是等差數(shù)列,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(Ⅱ)若bn=
n
an
求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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