給出下列四個結(jié)論:
①若α、β為銳角,tan(α+β)=-3,tanβ=
1
2
,則α+2β=
4

②在△ABC中,若
AB
BC
>0
,則△ABC一定是鈍角三角形;
③已知雙曲線
x2
4
+
y2
m
=1
,其離心率e∈(1,2),則m的取值范圍是(-12,0);
④當(dāng)a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點P,則焦點在y軸上且過點P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=
4
3
y
.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
分析:①由題意可先求tan(α+2β)=
tan(α+β)+tanβ
1-tan(α+β)tanβ
,結(jié)合α,β為銳角且tanβ=
1
2
可求α+2β的范圍,進(jìn)而可求
②由
AB
BC
>0
,可得
BA
BC
0,則B>90°
③根據(jù)離心率的范圍求得m的取值范圍判斷.
④,先求出直線恒過的定點,再求出符合條件的拋物線方程
解答:解:①由tan(α+β)=-3,tanβ=
1
2
,則可得tan(α+2β)=
tan(α+β)+tanβ
1-tan(α+β)tanβ
=
-3+
1
2
1+3×
1
2
=-1

∵α,β為銳角且tanβ=
1
2
3
3
可知β<
π
6

0<α+2β<
6

α+2β=
4
,故①正確
②△ABC中,若
AB
BC
>0
,則
BA
BC
0,則B>90°,則△ABC一定是鈍角三角形,故②正確
③離 心率1<e=
4-m
2
<2,解得-12<m<0,故m的范圍是-12<m<0,③正確,
④整理直線方程得(x+2)a+(1-x-y)=0,可知直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點P(-2,3),可設(shè)拋物線方程為x2=2py,由過(-2,3)可得4=6p,則p=
3
2
,故符合條件的方程是 x2=
4
3
y
,則④正確
故其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是:4
故選D.
點評:本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、不等式的解法,兩角和的正切公式的應(yīng)用及向量的夾角的應(yīng)用.
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1
2
+
1
2x-1
(x≠0)是奇函數(shù)且函數(shù)y=x(
1
3x-1
+
1
2
)
(x≠0)是偶函數(shù);④函數(shù)y=cos|x|是周期函數(shù).其中正確結(jié)論的序號是
 
.(填寫你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號)

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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段AC1上有兩個動點E,F(xiàn),且EF=
3
3
.給出下列四個結(jié)論:
①BF∥CE;
②CE⊥BD;
③三棱錐E-BCF的體積為定值;
④△BEF在底面ABCD內(nèi)的正投影是面積為定值的三角形;
其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( 。

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在正三棱錐P-ABC中,D為PA的中點,O為△ABC的中心,給出下列四個結(jié)論:①OD∥平面PBC;  ②OD⊥PA;③OD⊥BC;  ④PA=2OD.其中正確結(jié)論的序號是
③④
③④

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(2010•馬鞍山模擬)給出下列四個結(jié)論:
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②“若am2<bm2,則a<b”的逆命題為真;
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ab
=-2
;
④對于任意實數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)且x>0時,f'(x)>0,g'(x)>0,則x<0時,f'(x)>g'(x).
其中正確結(jié)論的序號是
①④
①④
(填上所有正確結(jié)論的序號)

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