Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³+ax²+5x+6在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，-

  5

  ]
• B、（-∞，-3]
• C、（-∞，-3]∪[-

  5

  ，+∞）
• D、（-

  5

  ，

  5

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)函數(shù)，f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分離參數(shù)法，借助于導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：求導(dǎo)數(shù)可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f′（x）≤0，
即x²+2ax+5≤0在[1，3]恒成立，
∴a≤-

x2+5

2x

在[1，3]恒成立，
設(shè)g（x）=-

x2+5

2x

，則g′（x）=

5-x2

2x2

，
令g′（x）=0得：x=

5

或x=-

5

（舍去）
∴當(dāng)1≤x≤

5

時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)

5

≤x≤3時(shí)，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，

5

）上遞增，在（

5

，3）上遞減，
∵g（1）=-3 g（3）=-

7

3

，
∴最小值為g（1）=-3
∴當(dāng)f′（x）≤0時(shí)，a≤g（x）≤g（1）=-3
∴a≤-3，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，分離參數(shù)，求函數(shù)的最值是關(guān)鍵．