Question

15．已知兩圓C₁：（x-4）²+y²=169，C₂：（x+4）²+y²=9，動圓在圓C₁內(nèi)部且和圓C₁相內(nèi)切，和圓C₂相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{x}^{2}}{64}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{48}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動圓半徑為r，消去r，根據(jù)圓錐曲線的定義，即可求得動圓圓心M的軌跡，進而可求其方程．

解答 解：設(shè)動圓圓心M（x，y），半徑為r，
∵圓M與圓C₁：（x-4）²+y²=169內(nèi)切，與圓C₂：（x+4）²+y²=9外切，
∴|MC₁|=13-r，|MC₂|=r+3，
∴|MC₁|+|MC₂|=16＞8，
由橢圓的定義，M的軌跡為以C₁，C₂為焦點的橢圓，
可得a=8，c=4；則
b²=a²-c²=48；
∴動圓圓心M的軌跡方程：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1．
故選：D．

點評 考查兩圓的位置關(guān)系及判定方法和橢圓的定義和標準方程，要注意橢圓方程中三個參數(shù)的關(guān)系：b²=a²-c²，屬中檔題．