【題目】在直角坐標(biāo)系中,橢圓
的方程為
(
為參數(shù));以原點
為極點,以
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求橢圓的極坐標(biāo)方程,及圓
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若動點在橢圓
上,動點
在圓
上,求
的最大值;
(3)若射線分別與橢圓
交于點
,求證:
為定值.
【答案】(1) ,
; (2)
; (3)見解析.
【解析】
(1)先消去參數(shù)得到普通方程,再化為極坐標(biāo)方程;
(2)利用橢圓參數(shù)方程求出橢圓上的點到圓心的最遠(yuǎn)距離,從而可得;
(3)根據(jù)射線垂直的特征,求出交點的極坐標(biāo),證明即可.
(1)橢圓化為普通方程為:
;
將,
代入得
的極坐標(biāo)方程為
又圓的普通方程:
,
由,
得,
,即
(2)由(1)知圓心為,半徑為8,則
利用橢圓參數(shù)方程,設(shè):
得,
當(dāng)即
時,
,則
(3)橢圓極坐標(biāo)方程:
因為射線,
互相垂直,即
,
設(shè):,
,所以
,
.
為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a,b的兩個黑球和編號為c,d,e的三個紅球,從中任意摸出兩個球.
(1)求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率:
(2)求至少摸出1個黑球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 設(shè)函數(shù),
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,曲線
與
有兩條公切線,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若對
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且函數(shù)
的圖象在點
處的切線斜率為
.
(1)求的值,并求函數(shù)
的最值;
(2)當(dāng)時,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的公差
大于0,且
,
是方程
的兩根,數(shù)列
的前
項和為
,且
.
(1)求數(shù)列、
的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項和為
,試比較
與
的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的離心率是
,一個頂點是
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),
是橢圓
上異于點
的任意兩點,且
.試問:直線
是否恒過一定點?若是,求出該定點的坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中
),
.它的最小正周期為
,
,且
的最大值為2.
(1)求的解析式;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸和對稱中心.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合計 |
已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.
(1)請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說明你的理由;
(3)已知在被調(diào)查的學(xué)生中有5名來自甲班,其中3名喜歡游泳,現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人喜歡游泳的概率.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由于疫情影響,今年我們學(xué)校開展線上教學(xué),高一年級某班班主任為了了解學(xué)生上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間,對本班40名學(xué)生某天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了調(diào)查,將數(shù)據(jù)(取整數(shù))整理后,繪制出如圖所示頻率分布直方圖,已知從左到右各個小組的頻率分別是0.15,0.25,0.35,0.20,0.05,則根據(jù)直方圖所提供的信息.
(1)這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間在分鐘之間的學(xué)生有多少人?
(2)這40位同學(xué)的線上平均學(xué)習(xí)時間是多少?
(3)如果只用這40名學(xué)生這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生該天的上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間,這樣推斷是否合理?為什么?
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