【題目】如圖,已知圓O外有一點(diǎn)P,作圓O的切線PM,M為切點(diǎn),過PM的中點(diǎn)N,作割線NAB,交圓于A,B兩點(diǎn),連接PA并延長,交圓O于點(diǎn)C,連續(xù)PB交圓O于點(diǎn)D,若MC=BC.

(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.

【答案】
(1)證明:∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點(diǎn),

∴MN2=PN2=NANB,

= ,

又∵∠PNA=∠BNP,

∴△PNA∽△BNP,

∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA,.

∵M(jìn)C=BC,

∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP


(2)證明:∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,

∴PM∥CD.

∵△APM∽△ABP,

∴∠PMA=∠BPA

∵PM是圓O的切線,

∴∠PMA=∠MCP,

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,

∴MC∥PD,

∴四邊形PMCD是平行四邊形


【解析】(1)由切割線定理,及N是PM的中點(diǎn),可得PN2=NANB,進(jìn)而 = ,結(jié)合∠PNA=∠BNP,可得△PNA∽△BNP,則∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA;再由MC=BC,可得∠MAC=∠BAC,再由等角的補(bǔ)角相等可得∠MAP=∠PAB,進(jìn)而得到△APM∽△ABP(2)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM是圓O的切線,可證得∠MCP=∠DPC,即MC∥PD;再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形.

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