Question

18．已知四棱錐S-ABCD的底面為平行四邊形，且SD⊥面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M、N分別為SB、SC中點，過MN作平面MNPQ分別與線段CD、AB相交于點P、Q．
（Ⅰ）在圖中作出平面MNPQ使面MNPQ‖面SAD（不要求證明）；
（ II）若$|{\overrightarrow{AB}}|=4$，在（Ⅰ）的條件下求多面體MNCBPQ的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用Q是AB的中點推出圖形即可．
（Ⅱ）連接PB，NB，由題可知在（Ⅰ）情況下，說明平面MNPQ與平面ABCD垂直，通過V_MNCBQP=V_B-MNPQ+V_N-PBC，推出此多面體MNCBPQ的體積．

解答 解：（Ⅰ）：如圖，Q是AB的中點（若NP．PQ不是虛線，扣兩分）…..（4分）

（Ⅱ）連接PB，NB，由題可知在（Ⅰ）情況下，
平面MNPQ與平面ABCD垂直，由題知AB=4，BC=PC=2，SD=2，NP=1
且SD⊥面ABCD，NP∥SD，則NP⊥面ABCD，△PCB是邊長為2的等邊三角形則${V_{N-PBC}}=\frac{1}{3}{S_{△PBC}}|{NP}|=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•4•1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（6分）
由MN∥BC，MN⊥面SAD，面MNPQ是直角梯形，MN=NP=1，PQ=2，
連接BD交PQ于點H，在△ABD中，由余弦定理可知$BD=2\sqrt{3}$，AB²=AD²+BD²則BD⊥AD，
即BH⊥PQ，且BH⊥NP，故BH⊥面MNPQ…（9分），
${V_{B-MNPQ}}=\frac{1}{3}{S_{MNPQ}}•|{BH}|=\frac{1}{3}•\frac{{（{1+2}）1}}{2}•\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（10分）
故V_MNCBQP=V_B-MNPQ+V_N-PBC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$…..（11分）
故此多面體MNCBPQ的體積為$\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$…．（12分）

點評 本題考查直線與平面的位置關(guān)系的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．