【題目】已知：函數(shù)f（x）= x2+ax﹣2a2lnx，（a≠0）． （I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

【答案】解：（I）∵函數(shù) 的定義域為（0，+∞） ∴ = =
∵a＞0，令f′（x）=0，則x=﹣2a（舍去），或x=a
∵當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，∵當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，a）為函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間，
（a，+∞）為函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）由（I）得當x=a時，函數(shù)取最小值 a2﹣2a2lna
若f（x）＞0恒成立
則 a2﹣2a2lna= a2（3﹣4lna）＞0
即3﹣4lna＞0
解得a＜
又∵a＞0，
∴a的取值范圍為（0， ）
【解析】（I）先求出函數(shù)的定義域，進而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，分析導函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可得結(jié)論；（II）若f（x）＞0恒成立，則f（x）的最小值大于0，根據(jù)（I）中結(jié)論，求出函數(shù)的最小值，代入構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，f′（x）為函數(shù)f（x）的導函數(shù)．

（1）若F（x）=f（x）+b，函數(shù)F（x）在x=1處的切線方程為2x+y﹣1=0，求a，b的值；
（2）若f′（x）≤﹣x+ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】判斷下列各組函數(shù)是否為相等函數(shù)：
⑴f（x）=f（x）= ，g（x）=x﹣5；
⑵f（x）=2x+1（x∈Z），g（x）=2x+1（x∈R）；
⑶f（x）=|x+1|，g（x）= ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是10%．
（1）連續(xù)抽取兩件產(chǎn)品，求兩件產(chǎn)品均為正品的概率；
（2）對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過4次，求抽查次數(shù)ξ的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根．
（1）是否存在實數(shù)k，（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（2）求使 + ﹣2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]（m∈R）．
（1）當m=2時，求A∩（RB）；
（2）若A∪B=B，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣2tx+2，g（x）=ex﹣1+e﹣x+1 ， 且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上最大值；
（2）設(shè) ，不等式h（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)F（x）=f（x）+ag（x）﹣2有唯一零點，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）= + 的定義域為（ ）
A.[﹣1，2）∪（2，+∞）
B.[﹣1，+∞）
C.（﹣∞，2）∪（2，+∞）
D.（﹣1，2）∪（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合A={x|（x﹣2m+1）（x﹣m+2）＜0}，B={x|1≤x+1≤4}．
（1）若m=1，求A∩B；
（2）若A∩B=A，求實數(shù)m的取值集合．

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