Question

某企業(yè)有A、B兩種型號的家電產(chǎn)品參加家電下鄉(xiāng)活動，若企業(yè)投放A、B兩種型號家電產(chǎn)品的價值分別為a、b萬元，則農(nóng)民購買家電產(chǎn)品獲得的補貼分別為tlna萬元、

1

10

b萬元（t＞0且為常數(shù)）．已知該企業(yè)投放總價值為100萬元的A、B兩種型號的家電產(chǎn)品，且A、B兩種型號的投放金額都不低于10萬元．
（1）請你選擇自變量，將這次活動中農(nóng)民得到的總補貼表示為它的函數(shù)，并求其定義域；
（2）問A、B兩種型號的家電產(chǎn)品各投放多少萬元時，農(nóng)民得到的總補貼最多？

Answer 1

分析：（1）先投放A型產(chǎn)品的金額的x萬元，則投放B型產(chǎn)品的金額為（100-x）萬元，根據(jù)農(nóng)民購買家電產(chǎn)品獲得的補貼分別為tlna萬元、

1

10

b萬元（t＞0且為常數(shù)），即可得到農(nóng)民得到的總補貼的函數(shù)解析式；
（2）對于（1）中求得的函數(shù)，取導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定單調(diào)性，從而可求其最大值．

解答：解：（1）設(shè)投放A型產(chǎn)品的金額的x萬元，則投放B型產(chǎn)品的金額為（100-x）萬元，
農(nóng)民得到的總補貼f（x）=tlnx+

1

10

(100-x)=tlnx-

1

10

x+10
∵x≥10，100-x≥10，∴10≤x≤90，∴其定義域為[10，90]；
（2）f′（x）=

t

x

-

1

10

=

10t-x

10x

（10≤x≤90，t＞0），令f′（x）=0，得x=10t
1°若10t≤10，即0＜t≤1，則f′（x）≤0，∴f（x）在[10，90]為減函數(shù)，當x=10時，f（x）有最大值；
2°若10＜10t＜90，即1＜t＜9，則f（x）在[10，10t]是增函數(shù)，在[10t，90]是減函數(shù)，當x=10t時，f（x）有最大值；
3°若10t≥90即t≥9，f′（x）≥0，則f（x）在[10，90]是增函數(shù)，∴當x=90時，f（x）有最大值．
因此，當0＜t≤1時，投放A型產(chǎn)品10萬元，投放B型產(chǎn)品90萬元；當1＜t＜9時，投放A型產(chǎn)品10t萬元，投放B型產(chǎn)品（100-10t）萬元；當t≥9時，投放A型產(chǎn)品90萬元，投放B型產(chǎn)品10萬元，農(nóng)民得到的總補貼最大．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，考查運算求解能力，分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．