Question

已知{a_n}是正項數(shù)列，a₁=1，且點（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=1+

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n+1，得{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由b_n=1+

1

anan+1

=

1

n(n+1)

+1=

1

n

-

1

n+1

+1，利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}是正項數(shù)列，a₁=1，
且點（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）b_n=1+

1

anan+1

=

1

n(n+1)

+1=

1

n

-

1

n+1

+1，
∴S_n=（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）+n
=1-

1

n+1

+n
=

n2+2n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．