7.《九章算術(shù)》中有一個“兩鼠穿墻”問題:“今有垣(墻,讀音)厚五尺,兩鼠對穿,大鼠日(第一天)一尺,小鼠也日(第一天)一尺.大鼠日自倍(以后每天加倍),小鼠日自半(以后每天減半).問何日相逢,各穿幾何?”
在兩鼠“相逢”時,大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比是59:26.

分析 第一天的時候,大鼠打了1尺,小鼠1尺;第二天的時候,大鼠打了2尺,小鼠打了$\frac{1}{2}$尺;第三天設(shè)大鼠打了X尺,小鼠則打了(0.5-X)尺,則X÷4=(0.5-x)÷$\frac{1}{4}$,由此能求出大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比.

解答 解:第一天的時候,大鼠打了1尺,小鼠1尺,一共2尺,還剩3尺;
第二天的時候,大鼠打了2尺,小鼠打了$\frac{1}{2}$尺,這一天一共打了2.5尺,兩天一共打了4.5尺,還剩0.5尺.
第三天按道理來說大鼠打4尺,小鼠$\frac{1}{4}$尺,
可是現(xiàn)在只剩0.5尺沒有打通了,所以在第三天肯定可以打通.
我們現(xiàn)在設(shè)大鼠打了X尺,小鼠則打了(0.5-X)尺
則打洞時間相等:
X÷4=(0.5-x)÷$\frac{1}{4}$
解方程得X=$\frac{8}{17}$,
所以大鼠在第三天打了8/17尺,
小鼠打了0.5-$\frac{8}{17}$=$\frac{1}{34}$尺
所以三天總的來說:大鼠打了3+$\frac{8}{17}$=$\frac{59}{17}$尺,小鼠打了5-$\frac{59}{17}=\frac{26}{17}$尺,
∴大鼠與小鼠“穿墻”的“進(jìn)度”之比是59:26.
故答案為:59,26.

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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②設(shè)曲線f(x)=x3+2上不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),且x1•x2=1,則φ(M,N)的取值范圍是(0,$\frac{3\sqrt{10}}{5}$).

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