Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E，F(xiàn)分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角F-EC-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)G為PC的中點，連接FG，EG，根據(jù)中位線定理得到FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD，進而可得到AF∥GE，再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE，得證．
（Ⅱ）根據(jù)PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD結(jié)合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同樣得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得證．
（Ⅲ）取AD的中點M，連接FM，EM，MC，根據(jù)條件可得∠FEM為二面角F-EC-D的平面角，在求出三角形的邊長即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè)G為PC的中點，連接FG，EG，
∵F為PD的中點，E為AB的中點，
∴FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE，∴AF∥GE
∵GE?平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）證明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）取AD的中點M，連接FM，EM，MC，
因為F是PD的中點；
∴FM∥PA；
∴FM⊥平面ABCD；⇒EC⊥FM①
在三角形EMC中，
因為MC=

MD 2+DC 2

=3；ME=

AM2+AE 2

=

3

；EC=

BE 2+BC 2

=

6

；
∴MC²=ME²+EC²；
∴EM⊥EC  ②；
∴由①②得EC⊥平面FME，
∴EC⊥FE，
即∠FEM為二面角F-EC-D的平面角，
而tan∠FEM=

FM

EM

=

1 2 PA

EM

=

1

3

=

3

3

；
∴∠FEM=30°．
故二面角F-EC-D為30°．

點評：本題主要考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理．考查對立體幾何中基本定理的掌握程度和靈活運用能力．