Question

在△ABC中A，B，C所對的邊為a，b，c，若函數(shù)f（x）=x²+mx-

1

4

為偶函數(shù)，且f(cos

B

2

)=0．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若△ABC的面積為

15 3

4

，其外接圓半徑為

7 3

3

，求△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,解三角形

分析：（Ⅰ）由偶函數(shù)的圖象特點(diǎn)，求得m=0，再通過解方程，求得B；
（Ⅱ）運(yùn)用三角形的正弦定理和面積公式，以及余弦定理，化簡配方和整理，即可得到周長．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+mx-

1

4

為偶函數(shù)，
則有對稱軸為y軸，即m=0，f（x）=x²-

1

4

，
則f(cos

B

2

)=0即為cos

B

2

=

1

2

，即有

B

2

=

π

3

，
則B=

2π

3

；
（Ⅱ）由于△ABC的面積為

15 3

4

，則

1

2

acsinB=

15 3

4

，
即有ac=15，
由正弦定理，

b

sinB

=

14 3

3

，即有b=

14 3

3

×

3

2

=7，
由余弦定理，得，b²=a²+c²-2accosB，
即有49=（a+c）²-2ac+ac=（a+c）²-15，
則a+c=8，
則△ABC的周長為：a+b+c=7+8=15．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，同時(shí)考查偶函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．