Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}-{e^x}（{a＞0}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值；
（3）若存在x₁，x₂（x₁＜x₂），使得f（x₁）=f（x₂）=0，證明：$\frac{x_1}{x_2}$＜ae．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最大值即可；
（3）求出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${e}^{{{x}_{1}-x}_{2}}$，再求出x₁-x₂的表達(dá)式，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{a}$-e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜ln$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞ln$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）遞增，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
（2）當(dāng)ln$\frac{1}{a}$≥2即0＜a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，f（x）_max=f（2）=$\frac{2}{a}$-e²，
1＜ln$\frac{1}{a}$＜2即$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_max=f（ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$，
ln$\frac{1}{a}$≤1即a≥$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{a}$-e；
（3）證明：若函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
則f（ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，
即0＜a＜$\frac{1}{e}$，而此時(shí)f（1）=$\frac{1}{a}$-e＞0，
故x₁＜1＜ln$\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞ln$\frac{1}{a}$-1，即x₁-x₂＜1-ln$\frac{1}{a}$，
又f（x₁）=$\frac{{x}_{1}}{a}$-${e}^{{x}_{1}}$=0，f（x₂）=$\frac{{x}_{2}}{e}$-${e}^{{x}_{2}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${e}^{{{x}_{1}-x}_{2}}$＜${e}^{{（1-ln\frac{1}{a}）}_{max}}$=ae．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的最值的求法，同時(shí)考查了零點(diǎn)的判斷與應(yīng)用，屬于難題．