Question

在數(shù)列{}中，，并且對任意都有成立，令．
（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，證明：

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析

試題分析：（I）、當(dāng)n=1時(shí)，先求出b₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，求得b _n+1與b_n的關(guān)系即可知道b_n為等差數(shù)列，然后便可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)（I）中求得的b_n的通項(xiàng)公式先求出數(shù)列{}的表達(dá)式，然后求出T_n的表達(dá)式，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明<T_n＜
解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)時(shí)，
由得所以------------4分
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為-------------5分
（Ⅱ）------------------------------------7分
-------------------11分

可知Tn是關(guān)于變量n的增函數(shù)，當(dāng)n趨近無窮大時(shí)，的值趨近于0，
當(dāng)n=1時(shí)Tn取最小值，故有----------------14分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是運(yùn)用整體的思想來表示出遞推關(guān)系，然后進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性的思想來放縮得到證明。