已知橢圓C的離心率為e=
6
3
,一條準線方程為x=
3
2
2

(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設動點P滿足:
OP
=
OM
+
ON
,其中M,N是橢圓上的點,直線OM與ON的斜率之積為-
1
3
,問:是否存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,求A,B的坐標;若不存在,說明理由.
分析:(1)設出橢圓的標準方程,利用橢圓C的離心率為e=
6
3
,一條準線方程為x=
3
2
2
,建立方程組,求得幾何量,即可求橢圓C的標準方程;
(2)利用
OP
=
OM
+
ON
,直線OM與ON的斜率之積為-
1
3
,確定P的軌跡方程,即可求得結論.
解答:解:(1)設橢圓的標準方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
∵橢圓C的離心率為e=
6
3
,一條準線方程為x=
3
2
2

c
a
=
6
3
a2
c
=
3
2
2
,∴a=
3
,c=
2
,∴b=1
∴橢圓C的標準方程為
x2
3
+y2=1
;                ….(4分)
(2)設P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由
OP
=
OM
+
ON
得x=x1+x2,y=y1+y2…(6分)
因為點M,N在橢圓
x2
3
+y2=1
上,即x2+3y2=3,所以x12+3y12=3,x22+3y22=3…(8分)
x2+3y2=(x1+x2)2+3(y1+y2)2=(x12+3y12)+(x22+3y22)+2(x1x2+3y1y2)=6+2(x1x2+3y1y2)…(10分)
設分別為直線OM,ON的斜率,由題設條件知kOMkON=
y1y2
x1x2
=-
1
3
,因此x1x2+3y1y2=0…(12分)
所以x2+3y2=6,即
x2
6
+
y2
2
=1
….(14分)
所以P點是橢圓
x2
6
+
y2
2
=1
上的點,設該橢圓的左、右焦點為A,B,則由橢圓的定義|PA|+|PB|為定值,又因c=
6-2
=2
,因此兩焦點的坐標為A(-2,0),B(2,0).                                    …(16分)
點評:本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查標準方程,考查向量知識的運用,考查學生分析解決問題的能力,確定橢圓的標準方程是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,動點M為右準線上一點(異于右準線與x軸的交點),設線段FM交橢圓C于點P,已知橢圓C的離心率為
2
3
,點M的橫坐標為
9
2

(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設直線PA的斜率為k1,直線MA的斜率為k2,求k1•k2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,已知橢圓C的離心率為
3
2
,A、B、F分別為橢圓的右頂點、上頂點、右焦點,且S△ABF=1-
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+m被圓O:x2+y2=4所截弦長為2
3
,若直線l與橢圓C交于M、N兩點.求△OMN面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

()(本小題滿分12分)已知橢圓C: 的離心率為,過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點,當l的斜率為1是,坐標原點O到直線l的距離為.

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)C上是否存在點P,使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立?

若存在,求出所有的P的坐標與l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年遼寧省撫順市六校聯(lián)合體高三上學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

(1)求橢圓的方程;

(2)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設為橢圓上一點,且滿足為坐標原點),當 時,求實數(shù)取值范圍.

 

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