Question

函數(shù)f(x)=x+

a

x

（x＞0，a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，由x＞1可得f′（x）＞0，從而得f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）先求出f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，由題意可得當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，x²-a≤0恒成立，故a≥2²=4．

解答：證明：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+

1

x

（x＞0，a＞0），f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

．…（2分）
∵x＞1，∴x²＞1，即 x²-1＞0，∴

x2-1

x2

＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．   …（6分）
（2）f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，…（7分）
使f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，則當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，x²-a≤0恒成立，…（9分）
即a≥x²恒成立，即a≥2²=4，∴a≥4．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．